где Nn - продольная сила в стержне от нормативных нагрузок; / - расчетная длина стержня, равная расстоянию между точками приложения нагрузки к стержню; Е - модуль упругости; А - площадь брутто поперечного сечения стержня; Д - предельная величина удлинения (укорочения).
2.4.3. Основы работы и расчета изгибаемых элементов. Для изгибаемых стержней (балок), у которых пролет значительно превышает высоту поперечного сечения (в 5 и более раз), экспериментально подтверждается гипотеза плоских сечений Бернулли. В соответствии с этой гипотезой изменение де-
Условие пластичности ё пр = ё т отвечает IV теории прочности (энергетической). Для пластичных строительных сталей близка также III теория прочности (максимальных касательных напряжений), согласно которой текучесть металла наступает при достижении предельного значения одного из главных касательных напряжений
Tij = ( §i - gj)/2 = §т/2, i, J = 1, 2, 3, (2.15)
где & i, 8y - главные напряжения.
Сравнение с выражением (2.14) дает разницу около 14%, что вполне допустимо для практических расчетов. При кажущейся простоте условие пластичности (2.15) оказывается менее удобным в использовании по сравнению с (2.12), так как представляет собой совокупность трех отдельных выражений для "г" 1,2, "2,3, f3,i и предполагает вычисление главных напряжений.
2.4.2. Основы расчета на прочность центрально растянутых или сжатых элементов. Поведение под нагрузкой центрально растянутого элемента, а также центрально сжатого при условии обеспечения его устойчивости пол-, ностью соответствует работе материала при простом растяжении - сжатии (см. рис. 1.1,в).
Предполагается, что напряжения в поперечном сечении таких элементов распределяются равномерно. Для обеспечения несущей способности таких элементов необходимо, чтобы эти напряжения от расчетных нагрузок в сечении с наименьшей площадью не превышали расчетного сопротивления.
В соответствии с основным неравенством первого предельного хосюшшя (2.4) имеем
ё = N/An <R fc, (2.16)
где Л - N„ - продольная сила в стержне, определяемая от расчетных нагрузок; An - площадь нетто поперечного сечения элемента; R - расчетное сопротивление, принимаемое равным Ry, если в стержне не допускается развита цдастических дедотомаиий: если же условиями эксплуатации конструкции пластические деформации допустимы, то R равняется наибольшему из двух значений Ry и Ra/ f и (Здесь RyHRu - расчетные сопротивления материала соответственно по пределу текучести и по временному сопротивлению; -1,3 - коэффициент надежности по материалу при расчете конструкций по временному сопротивлению).
Проверка по второму предельному состоянию сводится к ограничению удлинений (укорочений) стержня от нормативных нагрузок [см. (2.5) ]:
Рис. 2.5. Изменение эпюры напряжений в изгибаемом элементе при развитии пластических
деформаций в материале
формаций по высоте сечения происходит по линейному закону, напряжения распределяются аналогично только до предела текучести S т (рис. 2.5,а).
Напряжения в точках, находящихся на расстоянии у от нейтральной оси, определяются по формуле S = My/Ix, где М - изгибающий момент в рассматриваемом сечении балки; 1х - момент инерции сечения.
Максимальное напряжение возникает в крайней фибре сечения при у = = Л/2: ё max = Mih/2)/Ix. Отношение момента инерции 1х к расстоянию от нейтральной оси до крайней точки сечения утах = Л/2 называется моментом сопротивления Wx h 2/Л, т.е. § max = M/Wx-
Для проверки прочности изгибаемых элементов, работающих в пределах упругих деформаций, в соответствии с основным неравенством первого предельного состояния (2.4) необходимо, чтобы максимальные нормальные и касательные напряжения в балке от расчетной нагрузки не превосходили соответствующих расчетных сопротивлений
ё max M/Wn < Ry fc\ = Q5/(/0 < Rs /с,
(2.18)
где М и Q - максимальные момент и поперечная сила в балке от расчетной нЗфузки; Wn - момент сопротивления нетто поперечного сечения балки, в случае несимметричного сечения балки выбирается Wnmin - hlymm, S - Статический момент сдвигающейся части сечения относительно нейтральной оси; / - момент инерции сечения балки; t - толщина стенки.
По второму предельному состоянию (2.5) наибольший прогиб балки от нагрузки нормальной эксплуатации сравнивается с предельной величиной, указанной в нормах, либо в задании на проектирование.
Величина прогиба зависит от расчетной схемы балки, а предельный прогиб - от назначения изгибаемого элемента. Например, для главной балки рабочей площадки производственного здания, имеющей однопролетную схему с шарнирными опорами и загруженной равномерно распределенной нагрузкой, проверка производится по формуле
(5/384) ((7„ £Л< 4(Ю,
(2.19)
На этом рисунке величины напряжений и деформаций приведены к одному масштабу. Это можно сделать, например, поделив первые на значение предела текучести, вторые - на соответствующие значения деформаций. На рис. 2.5 фзфики напряжений изображены сплошными линиями, деформаций - штриховыми. Предполагается, что поперечное сечение балки симметрично относительно оси X.
Для упрощения анализа напряженно-деформированного состояния балки используем упрощенную диафамму Прандтля идеального упругопластического материала (см. рис. 1.18).
Стрелецкий Н.С. Анализ процесса разрушения упругопластической системы /Сб. трудов МИСИ №5.-М., 1947.
где /шах - максимальный прогиб балки; д„ - нормативная нафузка на балку; / - пролет балки; EI - изгибная жесткость балки; 400 - норма прогиба.
-" При той же схеме балки, имеющей
второстепенное значение и загруженной / сосредоточенной силой Рп в середине про-
лета, проверка осуществляется по форму-
J.. /max = ЯпГ/(48£Л < 250. (2.19)
Рис. 2.6. Рост кривизны балки прямоу- изгибаемых элементах в отличие от
гольного сечения (/) и двутавровой центрально растянутых (сжатых) стерж-балки (2) при развитии в материале ней появление фибровой текучести не пластических деформаций приводит к исчерпанию несущей способ-
ности, так как в глубине сечения значения напряжений меньше предела текучести и, следовательно, стержень будет оказывать сопротивление при дальнейшем росте внешней нагрузки.
Это приведет к увеличению деформаций в сечении балки (штриховая линия на рис. 2.5,6). При этом рост напряжений будет ограничен пределом текучести ё т (сплошная линия на рис. 2.5,6) . Упругое ядро высотой а, где ё < От, будет уменьшаться. Кривизна 7Э=1/г«у",а следовательно, прогиб балки у будет резко нелинейно возрастать (рис. 2.6), и несущая способность асимптотически приближаться к предельной Мпл- Эта стадия работы изгибаемого элемента называется упругопластической. Полное исчерпание несущей способности балки по указанной схеме наступит при а -» О, т.е. когда все сечение будет охвачено пластичностью (рис. 2.5,0).
Эпюра напряжений будет состоять из двух разнозначных прямоугольников с ординатами ё = ± <? т. При этом график деформаций вырождается в горизонтальную линию (штриховая линия на рис. 2.5,0), деформации £ ± , что практически невозможно, так как материал обладает ограниченной деформативностью £ um, после которой наступает разрушение (рис. 2.5,г). Поэтому реально разрушение металлических балок происходит всегда в упругопластической стадии при амин > 0.
Легко показать , что в пределах площадки текучести, когда фибровые деформации балки не превышают 2%, площадь эпюры на рис. 2.5,6 отличается от предельной (рис. 2.5,0) всего на 0,2% для прямоугольных сечений и на 0,1% для двутавров. Поэтому с небольшой погрешностью, но значительным упрощением для дальнейшего анализа можно использовать предельную эпюру по рис. 2.5,0.
Однако имеется еще одно противоречие, давшее название этому предельному случаю. Бесконечным деформациям должна соответствовать бесконечная кривизна. Для идеально пластичных материалов это может произойти, когда взаимный угол поворота частей балок, разделенных рассматриваемым сечением, будет стремиться к бесконечности. Кинематически это соответствует шарнирному механизму, подвижность которого обеспечива-
