Рис. 2.3. Графики статистического распределения усилий (/) и несущей способности (2) конструкции
Здесь заштрихованные площади означают высокую обеспеченность расчетной нагрузки и) n 0,999 и расчетной несущей способности и) S ~ 0,999. Штриховые части кривых соответствуют нагрузкам и несущей способности, вероятность появления которых не превышает Р и 0,001.
Второе предельное состояние ограничивает максимальные перемещения конструкций в условиях нормальной эксплуатации, т.е. перемещения определяются от нормативных нагрузок. Неравенство второго предельного состояния имеет вид
/п Е Fni Yi &i < Д, (2.5)
t = l
где i - число влияния, т.е. перемещение конструкции от единичного воздействия; Д - предельная величина перемещения, определяющая возможность нормальной эксплуатации, устанавливается нормами, либо проектным заданием.
2.2.2. Понятие о методике допускаемых напряжений и вероятностном методе расчета. Из формулы (2.4) можно получить как частный случай основное неравенство методики допускаемых напряжений. Полагая для всех видов нагрузки коэффициенты надежности ff одинаковыми, коэффициенты сочетаний г = 1 и имея в виду, что Rn - St, получим
Л 5 Fni cLi /с т.
i = 1
(2.6)
Величина
Е Fni < i = Nn представляет собой суммарное усилие
<;= 1
в элементе от всех видов нагрузки. Перенося А в левую часть неравенст-fn ff - правую и имея в виду, что напряжение в элементе 6 = = NniA, получаем
ё < ёг/к = [$],
(2.7)
где k- fn fm у fl у с - коэффициент запаса.
Отношение нормативного предела текучести к коэффициенту запаса называется допускаемым напряжением [$] = &т/к.
Формально неравенство (2.7) является неравенством методики допускаемых напряжений. Слева стоит напряжение в конструкции от нормативной нагрузки, справа - нормативный предел текучести. Это неравенство расс-
Эта методика применялась в нашей стране для расчета строительных конструкций до 1951 г. В настоящее время она используется, например, в машиностроительных расчетах. В некоторых странах она применяется в настоящее время и для расчета строительных конструкций.
матривает конструкцию в нормальных условиях эксплуатации, а необходимая надежность обеспечивается коэффициентом запаса, учитывающим самые разнообразные отклонения от нормы - значения нагрузок, сопротивления материалов и другие факторы, влияющие на несущую способность конструкции в течение всего срока ее эксплуатаци. В среднем к = 1,5. Практически устанавливалось несколько значений к в зависимости от специфики работы конструкций, причем делалось это обычно умозрительно на основе опыта проектирования и эксплуатации.
В методике предельных состояний коэффициент запаса разделен на несколько коэффициентов, каждый из которых учитывает строго определенное физическое явление и может быть сравнительно просто обоснован математическими методами.
Сочетания этих коэффициентов могут быть самыми разнообразными, что значительно точнее отражает особенности работы конструкций. Таким образом, использование методики предельных состояний дает возможность проектировать конструкции с более точным прогнозом надежности и получать экономию металла.
В вероятностном методе подбора сечения конструкции все или наиболее важные параметры (нагрузки, сопротивление стали, геометрические характеристики и т.п.) являются случайными величинами и представляются статистическими законами распределения типа (2.2), по которым можно вычислить статистические характеристики - среднее значение, дисперсию, стандарт и т.д.
Для решения задачи используется основное неравенство, гарантирующее заданную обеспеченность сО превышения несущей способности S над усилием N в элементе от внешних нагрузок
P(N < S) > со. (2.8)
Здесь Р - знак вероятности; усилие N и несущая способность 5 не являются детерминированными величинами, как в методике предельных состояний, а представляются их статистическими законами распределения.
Можно ввести статистическую "функцию неразрушимости" V = S - Л, которая характеризует статистический разброс превышения несущей способности элемента над усилием в нем. Тогда выражение (2.8) будет эквивалентно выражению
P(V)uO. (2.9)
Имея статистические характеристики нагрузки, сопротивляемости материала и т.п. и задавая достаточно высокую обеспеченность и) , из выражения (2.9) можно определить геометрические размеры сечения (либо статистические характеристики сечения, если в расчете оно предполагается статистически изменчивым).
Сопоставляя методику предельных состояний с вероятностным методом [ср. (2.1) с (2.8)], можно видеть, что в (2.1) сравниваются две детерминированные величины (N и S), обоснованные статистическими методами и нормированные заданной вероятностью (обеспеченностью). В выражении (2.8) нормируется вероятность неравенства двух статистических величин. В этом смысле суть методики предельных состояний можно упро-
2.3. Классификация нагрузок и их сочетаний
При изложении методики предельных состояний все нагрузки были классифицированы в зависимости от вероятности их воздействия на нормативные и расчетные. Это не единственный способ классификации. Например, длительность воздействия нагрузки может существенно влиять на работу конструкции, вызывая при постоянном действии реологические явления в материале.
По этому признаку нагрузки разделяются на постоянные и временные. Последние, в свою очередь, могут быть длительными и кратковременными.
Лужин О.В. Вероятностные методы расчета сооружений /Учеб. пособие. - М.: МИСИ, 1983. С. 120.
щенно сформулировать как "неравенство вероятностей", а вероятного метода - как "вероятность неравенства".
Вероятностный метод является наиболее совершенным из рассмотренных, в отдельных случаях он может дать экономию металла 10-12% по сравнению с методикой предельных состояний. Однако повышенная трудоемкость вероятностного метода пока ограничивает его применение в повседневной инженерной практике.
Пример расчета. Подобрать сеченне верхнего пояса консольной фермы (рис. 2.4) по методикам допускаемых напряжений, предельных состояний и вероятностным методом.
Усилие в поясе от нормативной нагрузки Nn - Qn/sin30° - 125/0,5 - 250 кН. Примем сталь типа
3. Вероятностный метод. Примем нормальный закон распределения усилия и сопротивления R. Остальные параметры - детерминированные (поперечные сечения, длины элементов). Положим обеспеченность расчетных величин оо - 0,9986, т.е. R-
Qf}=125f(ff f -Rm - 3e>RMN-Nm+ 3 . Из графика, приведенного на рКС. 1.6, имеем Дт - 30 кН/см. В качестве средней величины нагрузки Рис. 2.4. Расчетная схема примем нормативное ее значение Nm - 250 кН. Тогда из последних
двух выражений получаем - (Rm - Л)/3 - (30-21)/3 -
-ЗкH/cм ё jv-(iV-Afm)/3-(250-l,2 -250)/3-16,67кН. Положим, что распределение функции неразрушимости V-S - N будет подчиняться также нормальному закону. Тогда средняя величина Vm-Sm - Nm, стандарт ? y-y$s--N Отношение этих величин п - Vm/S V однозначно определяется значением обеспеченности а) . Имея в виду, что S-RAu & S - & »4. находим п - (RmA - Nm) SrA}+ Sn. Отсюда получаем расчетную формулу Атр - а -t-/?, где а - RmNm/c, b-\Nm-(.nS> jv)l /с, cRm-iniS к).
Зададим со - 0,9986. По таблице находим п - 2,98. Тогда с - 30 - (2,98-3)-820,1, а - 30 • • 250/820,1 - 9,15, 6 - [250 - (2,98-16,67)] /820,1 - 73,2; Атр - 9,15+У9,15 - 73,2 - 12,39 см1
Экономия по сравнению с методикой предельных состояний 15,3%, а по сравнению с методикой допускаемых напряжений - 26,2%.
