В рассмотренном выше пргшере сжато-растянутого стержня (рис. 2.1) перемещения аппроксимируют в виде (2.4):
Ui,(х) = q,(p {х)+ q(p2{х). где
у-; (р-у{х) = ~-: ,,9 - узловые неизвестные, в данном случае перемещения концов стержня вдоль оси х.
Из главного граничного условия U(0}=0 получим, что qiO, тогда Uf (х) - 2 {) • Дискретизированный функционал потенциальной энергии имеет вид:
I[щ,)ЛEql 2 г
dx+ f{x)q,(p,{x)dx.
Вычислив производную liu) по q2 и приравняв ее к нулю, получим уравнение МКЭ:
EF с X I i I
EF 1
При равномерно распределенной нагрузке f(x)=p, получим: Я2 Р/ - О
/ 2
Это уравнение хорошо известно в строительной механике стержневых систем.
Расчленение системы на конечные элементы, выполненное на первом этапе расчета, дает возможность представить возможные работы деформаций и внешних сил в виде сумм по отдельным элементам:
Это позволяет составлять элементы матрицы К и вектора Р из отдельных компонентов. Так, элемент матрицы К и I элемент вектора Р определяются по формулам
где relj\ Г el (у знака суммы) - суммирование по всем элементам, содержащим / и j узловые неизвестные; Kijr, Pir - компоненты матрицы жесткости и вектора узловых сил г ~ конечного элемента, которые определяются аналогично (2.6):
{B<p,YDB{<pj)dCL/, (2.8)
<p]fd€l,., (2.9)
Таким образом, МКЭ дает возможность строить разрешающую систему уравнений (2.5) на основе рассмотрения каждого отдельного конечного элемента, что очень удобно в реализации и является важным достоинством метода.
После выбора системы базисных функций {(pi) процедура МКЭ представляется достаточно формализованной. Выбор же {(pi) - самый ответственный этап, так как он определяет сходимость метода, точность решения задачи, разрешимость системы (2.5). Мнение о том, что наглядность МКЭ позволяет достаточно просто строить базисные функции из чисто физических соображений, на основе интуиции и т.п., может привести к грубым ошибкам. В настоящее время создан аппарат, позволяющий правильно законструировать или проверить выбранные базисные функции с точки зрения сходимости решения, обусловленности системы (2.5) и других факторов (см. п. 2.2).
Рассмотренная процедура МКЭ характерна для метода перемещений, использующего функционал полной потенциальной энергии системы -функционал Лагранжа. Если в основу решения задачи положен функционал Кастильяно, то такой вариант МКЭ аналогичен методу сил, а если функционал Рейсснера, то смешанному методу. В практической реализации наиболее удобен вариант МКЭ в перемещениях, поэтому дальнейшее изложение ориентировано на применение именно этого метода.
2.2 Выбор базисных функций и узловых неизвестных
Расчленение системы на конечные элементы дает возможность использовать рассмотрение отдельных конечных элементов не только для построения разрешающей системы (2.5), т.е. для практического решения задачи, но и для теоретических исследований базисных функций, абстрагируясь при этом от геометрии рассматриваемой области, граничных условий, нагрузки. Это обуславливает введение понятия «тип конечного элемента», который характеризуется набором узловых неизвестных, видом базисных функций, геометрией области классом решаемых задач (видом оператора А\ для которых он предназначен. Базисные функции на г конечном элементе могут быть введены в явном или неявном виде.
В первом случае каждому узловому неизвестному jr ставится в соответствиеjr базисная функция, т.е. аппроксимация имеет вид:
,()-Tjr<Pjr(y а. (2.10)
jr=i
где пг - общее число степеней свободы относящихся к г конечному элементу с областью
Во втором случае аппроксимация задается степенным полиномом, т.е. в виде
где а/г и у/р- (/>=1, 2, ) - коэффициенты и неизвестные базисные
функции.
Узловые неизвестные qj,. связаны с коэффициентами а/> соотношением g,.=Va,.; a,.=V-q,..
Матрица V строится, как правило, из соображений, что при подстановке в (2.11) координат определенного узла величина щ должна принимать значение узлового неизвестного q в этом узле. Для однозначного перехода от q к ау и наоборот необходимо, чтобы матрица V была квадратной, т.е. пг=тг и обратимой (свойство унисольвентности). Это достигается за счет варьирования числа членов в (2.11), которое производится с учетом удовлетворения базисными функциями определенных требований. Подробный анализ унисольвентности для распространенных КЭ приведен в работе [2.38.
Тождественность МКЭ и метода Ритца была показана в работах [2.3, 2.5, 2.6]. Взаимосвязь этих методов создает теоретические основы для выбора и оценки базисных функций МКЭ. Так, на основе работы [2.8] можно сформулировать требования, которым должны удовлетворять функции (pi, чтобы обеспечить сходимость МКЭ:
1) система базисных функций {(pi) должна принадлежать энергетическому пространству На дифференциального оператора задачи А, Это означает, что наряду с удовлетворением главным граничным условиям, представление разрешающей функции и должно обеспечить с)тцествование по всей области Q тех перемещений и их производных, которые входят в функционал (2.2). Элементы, базисные функции которых удовлетворяют этому условию, называются совместными или конформными;
2) функции (pi должны быть линейно независимы. Это требование необходимо для разрешимости системы (2.5);
3) система базисных функций {/} должна быть полна в энергетическом пространстве оператора. Это означает, что функции (2.4) при неограниченном сгущении сетки могут аппроксимировать в энергетическом смысле любые возможные перемещения по области Q с любой заранее заданной степенью точности.
