Доказательство. Положим в (4.3.13) v=pii, умножим (4.3.14) скалярно на а„Ыи сложим с (4.3.14). Применив (4.2.16), получим аналогичное (4.2.17) равенство
2[b{S,„u)-b{S,„-iii)\+ N,,,.,
+ Ом (u,»+i) - ам (a™-i)
+ Авс(р„ и) + 2в[и (S„ и) + L (Л.->")] = О.
(4.3.18)
КаТк и при доказательстве теоремы 8, сложим равенства (4.3.18), применим (4.1.6) и (4.1.7). Из дискретного варианта леммы Гронуолла получим (4.3.16), а затем и оценку погрешности (4.3.17).
Для решения системы (4.3.13), (4.3.14) воспользуемся равенством
и из (4.3.14) получим
а,п N - Ао Diun,, а,, и) + Л, , Л Дг/., (4.3.20)
Подставив в (4.3.13), получим уравнение относительно i/+i:
где изгибные и крутильные слагаемые возможной работы определяются, как в линейном случае по (1.2.23), (1.2.7).
Динамическая задача имеет вид (4.3.5). Исследование уравнения и разностных схем -аналогично пластине.
Отметим в заключение, что рассмотренные динамические геометрически нелинейные задачи, в отличие от статических, всегда имеют единственное решение. Поэтому геометрически нелинейные задачи, не удовлетворяющие в статической постановке условию монотонности (единственности решения), такие, как задачи «прощёлкивания» и подобные, целесообразно рассматривать и решать как динамические.
Задачи вязко-упруго-пластичности
Обозначим через a{aij}, напряжения и деформации. Линейный закон Гука (1.1.3)
запишем в виде
crAs, (4.4.1)
скалярное произведение а и е обозначим
(сг,)= jaKj£.jdQ. (4.4.2)
Деформации линейно связаны с перемещениями зависимостями Коши (1.1.1).
