в точке х~0 задано главное граничное условие и(0)-0. Минимуму этого функционала соответствует равенство нулю его производной. Если v(x) произвольная функция, удовлетворяющая, как и и(х), главному граничному условию vfOjO, то производная функционала 1(и) имеет вид:
d ( d
du du dv J dx dx dx
сЬсл-
\dxj
<
dii dv dx dx
d dxj
dx +
f{x)vdx
du dv
dx dx
dx +
f{x){u + tv)dx
f{x)vdx = 0
Далее покажем, что функция и(х). удовлетворяющая принципу возможных перемещений, удовлетворяет дифференциальному уравнению равновесия.
Интегрируя первое слагаемое равенства возможных перемещений по частям, получим:
du dx
v(x)+ f{x)v{x) dx +
dx j dx
Учитывая главное граничное условие vfOJO и произвольность функции v(x), получаем
+ f{x) = 0 и статическое граничное условие:
уравнение равновесия:
Аналогичные построения, устанавливающие эквивалентность условия минимума потенциальной энергии, принципа возможных перемещений и дифференциачьных уравнений равновесия для всех линейных задач теории упругости приводятся в ряде работ по вариационным методам в математической физике (например, [2.8]) и изложены в Приложении I.
Вариационная постановка задачи имеет определенные преимущества,
которые вытекают из того, что порядок производных в (2.2) понижается в 2 раза. Поэтому более удобно формулируются граничные условия, смягчаются требования к базисным функциям и более просто представляются разностные выражения.
Метод конечных элементов Рис. 2.2 вариационный, т. е. является
методом нахождения минимума функционала (2.2), на основе уравнений (2.3). Основная концепция МКЭ заключается в непосредственной дискретизации рассчитываемой системы, которая расчленяется расчетной сеткой на конечные элементы. На полученной дискретной модели вводится система кусочно-непрерывных функций {(pi(x)}, определенных на конечном числе подобластей - звездах конечных элементов (рис. 2.2), т. е.
<Piix) =
о xeQj
Искомая функция перемещений по области системы и(х), х Q. приближенно принимается в виде:
где L - общее число узловых неизвестных, которое в общем случае не равно числу узлов, так как в каждом узле может быть различное число неизвестных.
Узловые неизвестные qi в МКЭ, как правило, снабжаются физическим смыслом и представляют собой искомые значения перемещений и их производных в узлах расчетной сетки.
Терминология. Спор о терминах всегда бесконечен и при обсуждении той или иной проблемы нужно заранее договориться о них, иначе спор затянет обсуждение основной проблемы. Какой термин выбрать при обозначении функций, аппроксимирующих (интерполирующих) перемещения по области КЭ: аппроксимирующие, координатные, интерполирующие, базисные? Все эти термины в той или иной степени отражают сущность проблемы. Авторы книги (о вкусах не спорят) выбрали термин базисные функгши (БФ). То же самое относится и к термину степени свободы ~ он является наиболее устоявшимся в МКЭ. Однако, по нашему мнению, он очень неудачен, так как •заимствован из другой области. Это может приводить к определенным казусам. Так
один известный ученый при описании МКЭ дал такое определение: степень свободы определяет положение точки в пространстве. Такое определение может подходить, например, к кинематике, но никак не подходит к МКЭ. Имеются различные предложения. Например, неизвестные перемещения узлов (но как быть, когда перемещения узчов заданы, т.е. известны) ши просто перемещения узлов (но как быть, когда используются
не перемещения, а их производные типа q)- Авторы предлагают термин узловые
неизвестные, хотя заранее уверены, что и этот термин будеи низвергнут критикоЩи наверное справедливой!). Тем не менее в дальнейшем будем испо.чьзовать аббревиатуры: БФ - базисная функция, УН-узловые неизвестные.
На основе подстановки (2.4) в (2.3) задача определения непрерывной функции и(х) сводится к определению значений конечного числа неизвестных qi, которые находят из системы уравнений:
/(. J=(п(. J-и-J)=АГ1 (,,j
dq, dq, dq,
(2.5)
при /=1,2...L.
При решении системы (2.5) полагается, что Ufj(x) удовлетворяет главным граничным условиям. По найденным из (2.5) значениям qi на основе (2.4) определяется функция перемещений по области системы, а по ней на основе известных соотношений теории упругости и другие компоненты напряженно-деформированного состояния.
Обозначим:
(2.6)
Матрицу К с элементами Kij называют матрицей жесткости или матрицей системы уравнений МКЭ, вектор Р с элементами Р/ - вектором нагрузок и вектором правых частей.
Обозначив q - вектор узловых неизвестных, запишем уравнения (2.5) в матричном виде
