Глава 2 Основы теории метода конечных элементов. Инженерный подход
Основные условные обозначения:
А - дифференциальный оператор задачи;
и - вектор перемещений;
f - вектор внешних нагрузок;
В - матрица операций дифференцирования;
D - матрица упругости;
Q - область рассматриваемой задачи;
1(и) - функционал полной потенциальной энергии системы;
П - потенг{иальная энергия деформации;
W ~ работа внешних сил;
а - вектор напряжений;
е - вектор деформаций;
(р - вектор базисных функций;
q - вектор узловых неизвестных:
К ~ матрица жесткости всей системы;
Р - вектор внешней нагрузки в узлах;
- область г конечного элемента;
Кг - матрица жесткости г конечного элемента;
НА - энергетическое пространство задачи;
т - порядок дифференциального оператора задачи;
К - матрица коэффициентов канонической системы уравнений МКЭ;
L - размер матрицы К, обгцее число узловых неизвестных
Щ, tivf Uz - линейные (угловые) перемещения по направлению осей
ГгЧ и\ иЬ X. Y, Z;
V, W - возможное перемещение:
и - точное решение задачи в перемещениях:
uh - приближенное решение на сетке h (h - мингтальное
значение радиуса КЭ);
h - максимапьныйразмер КЭ;
а(и, v) - возможная работа внутренних сил;
а(и, V, w) ~ производная возможной работы внутренних сил по и.
2.1 Основные положения
Метод конечных элементов МКЭ [2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 и мн. др.] рассматривается ниже в форме перемещений, т.е. для случаев, когда искомой разрешающей функцией служит перемещение. Это вызвано тем, что выбор расчетной схемы для МКЭ в перемещениях легко поддается
алгоритмюации, а практическое использование МКЭ немыслимо без применения современных компьютеров.
Уравнения равновесия для задач линейной теории упругости записываются в виде:
Аи-В {DBu)+ / - о (2.1)
где: В - матричный линейный дифференциальный оператор, с помощью которого вектор деформаций s{u) выражается через вектор
перемещений и, s{u) - Ви;
D - матрица упругости, определяющая линейную связь между векторами напряжений <ти деформаций £; cf=Z)£-(закон Гука);
В " транспонированная матрица.
Обозначим:
11(иЛ -} {pBu\Bu)dQ. = \ cr{u)e{u)dQ. - потенциальная энергия
деформации,
lC) - / • работа внешних сил;
- полная энергия (2.2)
Положительная определенность и самосопряженность дифференциального оператора А позволяют перейти от решения дифференциальных уравнений (2.1) к нахождению минимума функционала полной энергии 1(и), т.е. функция и, доставляющая минимум функционалу (2.2), является решением дифференциального уравнения (2.1). Функционал полной энергии вида (2.2) является функционалом Лагранжа.
Условием минимума функционала (2.2) являются равенства принципа возможных перемещений: при любом возможном перемещении v сумма возможных работ внутренних и внешних сил равна нулю. Обозначим:
a(w,v) - {DBu\Bv)cIQ. - <т()б*(у)б/0 ~ возможную работу
внутренних сил
( /, у) = w{v) = / - vdCi - возможную работу внешних сил.
Тогда принцип возможных перемещений запишем в виде:
(w,v) + (/,v) = 0 (2.3)
Левая часть равенства (2.3) является, как легко показать, производной функционала полной энергии (2.2).
Задача решения уравнений равновесия (2.1), и вариационная задача минимизации функционала (2.2), т.е. нахождения функции г/, удовлетворяющей (2.3), эквивалентны, т.е. имеют одно и то же решение.
Покажем это на простейшем примере сжато растянутого стержня (рис. 2.1). Обозначим: Е - модуль Юнга;
Домножив уравнение на произвольную функцию v(x), удовлетворяющую граничным условиям и проинтегрировав первое слагаемое по частям, получим:
EF- dx
{x)dx -
du dv
dx dx
dx +
f{x)v{x)dx - 0
внеинтегральные слагаемые в силу граничных условии равны нулю.
Таким образом, получено равенство принципа возможных перемегцений, т.е. сумма возможных работ внутренних и внешних сил на любом возможном перемещении равна нулю.
Самосопряженность и положительная определенность оператора А вида (2.1) в
рассматриваемом случае заключается в очевидном неравенстве
•du dv EF • dx>Q и dx dx
равенстве
du dv
EF • dx= EF dx dx dx X dx dx
dv du
Справедливость этого неравенства следует из положительности ЕЕ (в общем случае из положительной определенности матрицы D).
Таким образом, показано, что функция и, являющаяся решением дифференциального уравнения равновесия, удовлетворяет принципу возможных перемегцений. Теперь покажем, что равенство принципа возможных перемегцений является условием минимума функционала потенциальной энергии.
