откуда следует непрерьшность нормальных напряжений .jj Ha/"i. Основные соотношения (1.1.1) - (1.1.4), (1.1.8) приведены в [1, 2, 39,41].
Стержни
Основные зависимости для стержней будем получать из аналогичных соотношений трехмерной теории упругости, вводя соответствующие предположения. Пусть ось Xi направлена вдоль прямолинейной оси стержня, представленной отрезком [О, Z]=D. Оси Ai, Х - главные центральные оси сечения.
Двумерную область сечения обозначим Оо> единичный вектор нормали к границе сечения
Го имеет вид v=(0,v2, v3).
Имеем
л:2 О. о ~ хз Q.0 - Х2 хъ Q о = О Qo Оо По
F = jJQo Обозначим 0 - площадь сечения.
По По
(1.2.1)
(1.2.2)
- главные центральные моменты инерции сечения.
Поскольку размеры сечения существенно меньше ддины стержня, предполагается, что
а22~ 033 = 023-0. (1.2.3)
Эти условия удовлетворяются, если положить (решение Сен-Венана)
где функции w/, «2» ai зависят только otjci, функции у/2, - только от хг, xj, причем у/\=<Рг ХзоХ2- Х2,оХз~Со, 2.0, " числа.
Вычислив деформации и напряжения по (1.1.1), (1.1.3) получим, предполагая отсутствие распределенных по оси нагрузок
£1.1 == U\,\ - Х2 U2.U - Хз W3.1.1 + «0.1.1 Wl
£•l.з=aoл(<г?,.з+X2)+W2лдд[/X2Xз/2+J+wзмI[/( CTi.i = Е £\,\, ст\,2 = G £12. а-1,3 = €\,i
(1.2.5)
Для определения функций y/j, у/2, у/з воспользуемся уравнениями равновесия (1.1.12) и (1.1.13). Эти уравнения при /=2,3 удовлетворяются тождественно. При i=l получаем уравнения Лу/2=х2, Ау/з=хз, Aj=0 в Qo,
где А(р=д)jjj+g) 13,3 ~ оператор Лапласа; и граничные условия
- это хорошо изученная задача Неймана [38]. Она имеет единственное (с точностью до аддитивной постоянной) решение, если
gJr-0. Го
Эти равенства для задач (1.2.6) доказываются с использованием формулы Грина при v=l и равенств (1.2.1).
Значение аддитивной постоянной определяется, например, из условия равенства функции (р нулю в какой-либо точке Го.
Определив y/i, у/2, у/з, находим затем числа Х2.0, хз.о, cq из условий
jx2liQo= jx3liQo= ji,Qo = 0.
Oo 0 Тогда
,0 = --7 jx3iQo Qo
Точку в сечении с координатами (ху, Х2,о, xj.o) называют центром кручения [2]. Подставив (1.2.5) в выражение для возможной работы внутренних сил (1.1.4), получим
