Главная » Книжные издания

1 2 3 4 5 6 ... 34

Литеращ>ра к главе 1

1.28 Кузнецов Б.Н. К вопросу об актуальности расчета конструкций на приспособляемость. Строительная механика и расчет сооружений, 1979. -№5.

1.29 Городецкий А.С. О численных методах определения вероятности разрушения конструкций. Строительная механика и расчет сооружений, 1971. -№3.

1.30 Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испьпганий. -М.: Физматгиз, 1961.



Глава 2 Основы теории метода конечных элементов. Инженерный подход

Основные условные обозначения:

А - дифференциальный оператор задачи;

и - вектор перемещений;

f - вектор внешних нагрузок;

В - матрица операций дифференцирования;

D - матрица упругости;

Q - область рассматриваемой задачи;

1(и) - функционал полной потенциальной энергии системы;

П - потенг{иальная энергия деформации;

W ~ работа внешних сил;

а - вектор напряжений;

е - вектор деформаций;

(р - вектор базисных функций;

q - вектор узловых неизвестных:

К ~ матрица жесткости всей системы;

Р - вектор внешней нагрузки в узлах;

- область г конечного элемента;

Кг - матрица жесткости г конечного элемента;

НА - энергетическое пространство задачи;

т - порядок дифференциального оператора задачи;

К - матрица коэффициентов канонической системы уравнений МКЭ;

L - размер матрицы К, обгцее число узловых неизвестных

Щ, tivf Uz - линейные (угловые) перемещения по направлению осей

ГгЧ и^\ и^Ь X. Y, Z;

V, W - возможное перемещение:

и - точное решение задачи в перемещениях:

uh - приближенное решение на сетке h (h - мингтальное

значение радиуса КЭ);

h - максимапьныйразмер КЭ;

а(и, v) - возможная работа внутренних сил;

а'(и, V, w) ~ производная возможной работы внутренних сил по и.

2.1 Основные положения

Метод конечных элементов МКЭ [2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 и мн. др.] рассматривается ниже в форме перемещений, т.е. для случаев, когда искомой разрешающей функцией служит перемещение. Это вызвано тем, что выбор расчетной схемы для МКЭ в перемещениях легко поддается



алгоритмюации, а практическое использование МКЭ немыслимо без применения современных компьютеров.

Уравнения равновесия для задач линейной теории упругости записываются в виде:

Аи-В^ {DBu)+ / - о (2.1)

где: В - матричный линейный дифференциальный оператор, с помощью которого вектор деформаций s{u) выражается через вектор

перемещений и, s{u) - Ви;

D - матрица упругости, определяющая линейную связь между векторами напряжений <ти деформаций £; cf=Z)£-(закон Гука);

В^ транспонированная матрица.

Обозначим:

11(иЛ -} {pBu\Bu)dQ. = \ cr{u)e{u)dQ. - потенциальная энергия

деформации,

lC) - / работа внешних сил;

- полная энергия (2.2)

Положительная определенность и самосопряженность дифференциального оператора А позволяют перейти от решения дифференциальных уравнений (2.1) к нахождению минимума функционала полной энергии 1(и), т.е. функция и, доставляющая минимум функционалу (2.2), является решением дифференциального уравнения (2.1). Функционал полной энергии вида (2.2) является функционалом Лагранжа.

Условием минимума функционала (2.2) являются равенства принципа возможных перемещений: при любом возможном перемещении v сумма возможных работ внутренних и внешних сил равна нулю. Обозначим:

a(w,v) - {DBu\Bv)cIQ. - <т()б*(у)б/0 ~ возможную работу

внутренних сил

( /, у) = w{v) = / - vdCi - возможную работу внешних сил.

Тогда принцип возможных перемещений запишем в виде:

(w,v) + (/,v) = 0 (2.3)

Левая часть равенства (2.3) является, как легко показать, производной функционала полной энергии (2.2).

Задача решения уравнений равновесия (2.1), и вариационная задача минимизации функционала (2.2), т.е. нахождения функции г/, удовлетворяющей (2.3), эквивалентны, т.е. имеют одно и то же решение.



Покажем это на простейшем примере сжато растянутого стержня (рис. 2.1). Обозначим: Е - модуль Юнга;

F - ппогцадь сечения; I длина; и(х) - осевое перемегцеиие; v(x) возможное перемещение; f(x) - внешняя нагрузка

Дифференциачьное уравнение равновесия, как известно, имеет вид:


Р(х)=р

Рис.2.1

d dx

dtf dx

+ /(x) - 0, граничные условия: u(0) = 0, EF - (/) = 0.

Домножив уравнение на произвольную функцию v(x), удовлетворяющую граничным условиям и проинтегрировав первое слагаемое по частям, получим:

EF- dx

{x)dx -

du dv

dx dx

dx +

f{x)v{x)dx - 0

внеинтегральные слагаемые в силу граничных условии равны нулю.

Таким образом, получено равенство принципа возможных перемегцений, т.е. сумма возможных работ внутренних и внешних сил на любом возможном перемещении равна нулю.

Самосопряженность и положительная определенность оператора А вида (2.1) в

рассматриваемом случае заключается в очевидном неравенстве

du dv EF dx>Q и dx dx

равенстве

du dv

EF dx= EF dx dx dx X dx dx

dv du

Справедливость этого неравенства следует из положительности ЕЕ (в общем случае из положительной определенности матрицы D).

Таким образом, показано, что функция и, являющаяся решением дифференциального уравнения равновесия, удовлетворяет принципу возможных перемегцений. Теперь покажем, что равенство принципа возможных перемегцений является условием минимума функционала потенциальной энергии.

Функционал потенциальной энергии имеет вид:



2 ;

dx +

в точке х~0 задано главное граничное условие и(0)-0. Минимуму этого функционала соответствует равенство нулю его производной. Если v(x) произвольная функция, удовлетворяющая, как и и(х), главному граничному условию vfOjO, то производная функционала 1(и) имеет вид:

d ( d

du du dv J dx dx dx

\dxj

<

dii dv dx dx

d dxj

dx +

f{x)vdx

du dv

dx dx

dx +

f{x){u + tv)dx

f{x)vdx = 0

Далее покажем, что функция и(х). удовлетворяющая принципу возможных перемещений, удовлетворяет дифференциальному уравнению равновесия.

Интегрируя первое слагаемое равенства возможных перемещений по частям, получим:

du dx

v(x)+ f{x)v{x) dx +

dx j dx

Учитывая главное граничное условие vfOJO и произвольность функции v(x), получаем

+ f{x) = 0 и статическое граничное условие:

уравнение равновесия:

Аналогичные построения, устанавливающие эквивалентность условия минимума потенциальной энергии, принципа возможных перемещений и дифференциачьных уравнений равновесия для всех линейных задач теории упругости приводятся в ряде работ по вариационным методам в математической физике (например, [2.8]) и изложены в Приложении I.



Вариационная постановка задачи имеет определенные преимущества,

которые вытекают из того, что порядок производных в (2.2) понижается в 2 раза. Поэтому более удобно формулируются граничные условия, смягчаются требования к базисным функциям и более просто представляются разностные выражения.

Метод конечных элементов Рис. 2.2 вариационный, т. е. является

методом нахождения минимума функционала (2.2), на основе уравнений (2.3). Основная концепция МКЭ заключается в непосредственной дискретизации рассчитываемой системы, которая расчленяется расчетной сеткой на конечные элементы. На полученной дискретной модели вводится система кусочно-непрерывных функций {(pi(x)}, определенных на конечном числе подобластей - звездах конечных элементов (рис. 2.2), т. е.


<Piix) =

о xeQj

Искомая функция перемещений по области системы и(х), х Q. приближенно принимается в виде:

где L - общее число узловых неизвестных, которое в общем случае не равно числу узлов, так как в каждом узле может быть различное число неизвестных.

Узловые неизвестные qi в МКЭ, как правило, снабжаются физическим смыслом и представляют собой искомые значения перемещений и их производных в узлах расчетной сетки.

Терминология. Спор о терминах всегда бесконечен и при обсуждении той или иной проблемы нужно заранее договориться о них, иначе спор затянет обсуждение основной проблемы. Какой термин выбрать при обозначении функций, аппроксимирующих (интерполирующих) перемещения по области КЭ: аппроксимирующие, координатные, интерполирующие, базисные? Все эти термины в той или иной степени отражают сущность проблемы. Авторы книги (о вкусах не спорят) выбрали термин базисные функгши (БФ). То же самое относится и к термину степени свободы ~ он является наиболее устоявшимся в МКЭ. Однако, по нашему мнению, он очень неудачен, так как заимствован из другой области. Это может приводить к определенным казусам. Так



один известный ученый при описании МКЭ дал такое определение: степень свободы определяет положение точки в пространстве. Такое определение может подходить, например, к кинематике, но никак не подходит к МКЭ. Имеются различные предложения. Например, неизвестные перемещения узлов (но как быть, когда перемещения узчов заданы, т.е. известны) ши просто перемещения узлов (но как быть, когда используются

не перемещения, а их производные типа q)- Авторы предлагают термин узловые

неизвестные, хотя заранее уверены, что и этот термин будеи низвергнут критикоЩи наверное справедливой!). Тем не менее в дальнейшем будем испо.чьзовать аббревиатуры: БФ - базисная функция, УН-узловые неизвестные.

На основе подстановки (2.4) в (2.3) задача определения непрерывной функции и(х) сводится к определению значений конечного числа неизвестных qi, которые находят из системы уравнений:

/(. J=(п(. J-и-J)=АГ1 ( j

dq, dq, dq,

(2.5)

при /=1,2...L.

При решении системы (2.5) полагается, что Ufj(x) удовлетворяет главным граничным условиям. По найденным из (2.5) значениям qi на основе (2.4) определяется функция перемещений по области системы, а по ней на основе известных соотношений теории упругости и другие компоненты напряженно-деформированного состояния.

Обозначим:

(2.6)

Матрицу К с элементами Kij называют матрицей жесткости или матрицей системы уравнений МКЭ, вектор Р с элементами Р/ - вектором нагрузок и вектором правых частей.

Обозначив q - вектор узловых неизвестных, запишем уравнения (2.5) в матричном виде

Kq + P = 0 (2.7)



В рассмотренном выше пргшере сжато-растянутого стержня (рис. 2.1) перемещения аппроксимируют в виде (2.4):

Ui,(х) = q,(p {х)+ q(p2{х). где

у-; (р-у{х) = ~-: 9 - узловые неизвестные, в данном случае перемещения концов стержня вдоль оси х.

Из главного граничного условия U(0}=0 получим, что qiO, тогда Uf (х) - 2 {) Дискретизированный функционал потенциальной энергии имеет вид:

I[щ,)Л^Eql 2 г

dx+ f{x)q,(p,{x)dx.

Вычислив производную liu) по q2 и приравняв ее к нулю, получим уравнение МКЭ:

EF с X I i I

EF 1

При равномерно распределенной нагрузке f(x)=p, получим: Я2 Р/ - О

/ 2

Это уравнение хорошо известно в строительной механике стержневых систем.

Расчленение системы на конечные элементы, выполненное на первом этапе расчета, дает возможность представить возможные работы деформаций и внешних сил в виде сумм по отдельным элементам:

Это позволяет составлять элементы матрицы К и вектора Р из отдельных компонентов. Так, элемент матрицы К и I элемент вектора Р определяются по формулам



где relj\ Г el (у знака суммы) - суммирование по всем элементам, содержащим / и j узловые неизвестные; Kijr, Pir - компоненты матрицы жесткости и вектора узловых сил г ~ конечного элемента, которые определяются аналогично (2.6):

{B<p,YDB{<pj)dCL/, (2.8)

<p]fd€l,., (2.9)

Таким образом, МКЭ дает возможность строить разрешающую систему уравнений (2.5) на основе рассмотрения каждого отдельного конечного элемента, что очень удобно в реализации и является важным достоинством метода.

После выбора системы базисных функций {(pi) процедура МКЭ представляется достаточно формализованной. Выбор же {(pi) - самый ответственный этап, так как он определяет сходимость метода, точность решения задачи, разрешимость системы (2.5). Мнение о том, что наглядность МКЭ позволяет достаточно просто строить базисные функции из чисто физических соображений, на основе интуиции и т.п., может привести к грубым ошибкам. В настоящее время создан аппарат, позволяющий правильно законструировать или проверить выбранные базисные функции с точки зрения сходимости решения, обусловленности системы (2.5) и других факторов (см. п. 2.2).

Рассмотренная процедура МКЭ характерна для метода перемещений, использующего функционал полной потенциальной энергии системы -функционал Лагранжа. Если в основу решения задачи положен функционал Кастильяно, то такой вариант МКЭ аналогичен методу сил, а если функционал Рейсснера, то смешанному методу. В практической реализации наиболее удобен вариант МКЭ в перемещениях, поэтому дальнейшее изложение ориентировано на применение именно этого метода.

2.2 Выбор базисных функций и узловых неизвестных

Расчленение системы на конечные элементы дает возможность использовать рассмотрение отдельных конечных элементов не только для построения разрешающей системы (2.5), т.е. для практического решения задачи, но и для теоретических исследований базисных функций, абстрагируясь при этом от геометрии рассматриваемой области, граничных условий, нагрузки. Это обуславливает введение понятия тип конечного элемента , который характеризуется набором узловых неизвестных, видом базисных функций, геометрией области классом решаемых задач (видом оператора А\ для которых он предназначен. Базисные функции на г конечном элементе могут быть введены в явном или неявном виде.



В первом случае каждому узловому неизвестному jr ставится в соответствиеjr базисная функция, т.е. аппроксимация имеет вид:

,()-Tjr<Pjr(y а. (2.10)

jr=i

где пг - общее число степеней свободы относящихся к г конечному элементу с областью

Во втором случае аппроксимация задается степенным полиномом, т.е. в виде

где а/г и у/р- (/>=1, 2, ) - коэффициенты и неизвестные базисные

функции.

Узловые неизвестные qj,. связаны с коэффициентами а/> соотношением g,.=Va,.; a,.=V-q,..

Матрица V строится, как правило, из соображений, что при подстановке в (2.11) координат определенного узла величина щ должна принимать значение узлового неизвестного q в этом узле. Для однозначного перехода от q к ау и наоборот необходимо, чтобы матрица V была квадратной, т.е. пг=тг и обратимой (свойство унисольвентности). Это достигается за счет варьирования числа членов в (2.11), которое производится с учетом удовлетворения базисными функциями определенных требований. Подробный анализ унисольвентности для распространенных КЭ приведен в работе [2.38.

Тождественность МКЭ и метода Ритца была показана в работах [2.3, 2.5, 2.6]. Взаимосвязь этих методов создает теоретические основы для выбора и оценки базисных функций МКЭ. Так, на основе работы [2.8] можно сформулировать требования, которым должны удовлетворять функции (pi, чтобы обеспечить сходимость МКЭ:

1) система базисных функций {(pi) должна принадлежать энергетическому пространству На дифференциального оператора задачи А, Это означает, что наряду с удовлетворением главным граничным условиям, представление разрешающей функции и должно обеспечить с)тцествование по всей области Q тех перемещений и их производных, которые входят в функционал (2.2). Элементы, базисные функции которых удовлетворяют этому условию, называются совместными или конформными;

2) функции (pi должны быть линейно независимы. Это требование необходимо для разрешимости системы (2.5);

3) система базисных функций {/} должна быть полна в энергетическом пространстве оператора^. Это означает, что функции (2.4) при неограниченном сгущении сетки могут аппроксимировать в энергетическом смысле любые возможные перемещения по области Q с любой заранее заданной степенью точности.



1 2 3 4 5 6 ... 34