диагональной составленной из диагональных членов матрицы К, а Un+i=Vn~Ut- Процесс продолжается до тех пор, пока значение вектора F„ будет лежать в пределах заданной точности.
Для промыгаленных программ дающих возможность рассчитать конструкцию на много загружений или построить и исследовать «нелинейные» компьютерные модели, безусловно, предпочтительнее прямые методы, так как они предполагают получение триангулированной матрицы, а затем быструю обработку прямым и обратным ходом многочисленных столбцов свободных членов.
Для некоторых нелинейных задач применение метода Биргера (упрощенный метод Ньютона) обуславливает несколько сотен прямых и обратных ходов для столбцов свободных членов. Конечно, в этих случаях итерационные методы мало пригодны.
Среди прямых методов, безусловно, выделяются своей целесообразностью современные методы решения разреженных матриц и
1 X
1 X
х! X
X: 4 i
"х
.........I......
Рис. 3.2
классический метод суперэлементов, впервые примененный в промышленных программах в 1969г. [3.5]
Прямой метод решения разреженных матриц* представляет собой обыкновенный метод Гаусса с нумерацией неизвестных таким образом, чтобы минимизировать количество вычислений, т.е. количество элементов матрицы, заполняемых в процессе исключения. Идея этого метода продемонстрирована на рис. 3.2.
* Реализованный в ПК ЛИРА этот метод в ряде случаев позволяет в 8-10 раз ускорить процесс решения системы линейных уравнений по сравнению с ленточными структурами.
Рис. 3.3
На рис. 3.2 показано три способа нумерации узлов. Первый способ (рис. 3.2 а) наиболее неудачный, так как матрица в процессе исключения полностью заполняется и количество заполняемых элементов равно 15.
На рис. 3.2 б показана нумерация, организованная по методу минимальной ширины ленты. В этом случае количество заполненных элементов равно 5. На рис. 3.2 в показана нумерация, характерная для метода разреженных матриц (в данном случае она совпадает с окаймленной структурой, для задачи с более сложными связями она имеет вид многонебоскребной структуры, рис. 3.3), заполняемые элементы матрицы в этом случае вообще отсутствуют.
Идея алгоритма перенумерации для разреженных матриц состоит в следующем: выбирается узел, а всем узлам, связанным с ним присваиваются последние номера, затем выбирается следующий узел и эта процедура повторяется. Конечно, метод выбора первого и последующих узлов является определенным know-how.
Если метод разреженных матриц частично решает только первую проблему - минимизирует количество вычислений, то метод суперэлементов ориентирован на решение второй проблемы преодоление плохой обусловленности матрицы. Суперэлементный подход особенно эффективен, когда расчленение на подсистемы происходит естественно: например, здание из объемных блоков (объемный блок - суперэлемент) или диафрагма высотного здания, собирающаяся из отдельных панелей (панель - суперэлемент). Фрагмент диафрагмы высотного здания показан на рис. 3.5. Диафрагма состоит из отдельных панелей, соединяющихся между собой в угловых точках.
Расчет такой системы можно выполнить обычным способом: нанести необходимую сетку и рассчитать всю систему целиком. Однако большое количество расчетных узлов, элементов, неизвестных перемещений может сильно затруднить решение задачи. Используя суперэлементы, можно провести расчет поэтапно, существенно снизив на каждом этапе
размерность задачи. Сначала построить матрицу жесткости для всех типов суперэлементов [в данном случае
имеются два типа 2 (рис. 3.4)], затем р 3 4 рассчитать систему,
состоящую из
суперэлементов (в данном случае система будет состоять из 6 суперэлементов с 12 суперузлами). В результате этого расчета будут определены перемещения суперузлов. На заключительном этапе рассчитать каждый из шести суперэлементов на заданные перемещения суперузлов.
Последовательность расчета системы, набранной из суперэлементов, аналогична приведенной ранее с той лишь разницей, что матрица жесткости и узловые нагрузки определяются в результате расчета. Так как суперэлемент представляет сам по себе
достаточно сложную систему, то матрицы базовых функций <рс строятся при помощи численного расчета суперэлемента на единичные смещения суперузлов, в результате которого строится матрица влияния, связывающая перемещения внутренних узлов суперэлемента с единичными смещениями суперузлов. Такая процедура обработки суперэлементов позволяет представить метод суперэлементной рекурсии как расчет по методу конечных элементов с построением аппроксимирующих функций при помощи матриц влияния.
Другая процедура обработки суперэлементов, основана на том, что в физическом смысле исключения j неизвестного по Гауссу соответствует освобождению от j связи. Это приводит к такой схеме построения матрицы
жесткости и сведение местной
Рис. 3.5
нагрузки к узловой: для i суперэлемента вначале
нумеруются все внутренние узлы (соответствующее им число степеней обозначим Hi), суперузлы степеней
Рис. 3.6
соответствующее обозначим пю);
свободы а затем (количество свободы, суперузлам, составляются
канонические уравнения для всех Hi+nw степеней свободы (рис 3.6); исключаются nt неизвестные; оставшиеся части матрицы и столбцов свободных членов (на рис. 3.6 они заштрихованы) образуют искомые матрицы жесткости и столбцы узловых нагрузок.
С точки зрения этой процедуры метод суперэлементной рекурсии можно трактовать как своеобразный блочный метод Гаусса.
