Нелинейность дифференциальных разрешающих уравнений МКЭ обусловлена нелинейной зависимостью о=а{г). Здесь рассматривается физическая нелинейность в рамках нелинейной теории упругости.
Процедуру решения физически нелинейной задачи на основе вышеизложенных методов покажем на простом примере (рис. 2.13).
Рис. 2.13
Рассматривается стержень тощадью поперечного сечения F с зависимостью О() = - Bs~ . о < 2В < 1. Левый конец стержня закреплен. К правому концу
стерлсня (узел 2) пргшсжена сосредоточенная сила Р. Решая эту задачу но основе МКЭ,
eecsle.vi два узловых неизвестных qj, q2 (лгшейные перемещения узла I и 2).
Для аппроксимации перемещений щ используем линейные базисные функ1(ииХ] и Xj, т.е.
/ - X X
Если левый конец стержня закреплен, а к правому приложена сосредоточенная сила Р, то действительное и и возможное v перемещения представляются в виде
L. It
Функционал воз.можной работы внутренних сил имеет вид:
dx = Fa
ч / .
, нелинейное уравнение МКЭ тогда записывается
Р = 0
В случае зависимости (t{s) = e{s - Be) {2В < l) получаем уравнение относительно
В , Чг - Яг
Р = 0
Производная по д, соответствующая функционалу a{u,v,\v), имеет вид
I \ I J
Таким образом, на основе МКЭ нелинейная задача сводится к решению нелинейного алгебраического уравнения (системе нелинейных уравнений). Если зависимость а(£)
представляется в трансцендентном виде, например. <у{£)-r{[ -е, то на основе МКЭ получим систему трансцендентных уравнений, для данного случая:
+ Р = 0.
При решении нелинейных алгебраических (трансцендентных) уравнений методом, основанным на линеаризации (см. Раздел 2.7), используются производные по q,
соответствуюгцые функционалу a{u,v., w), для рассматриваемого случая а {u,v,w)= 1-2 qj
Для шагового метода линеаризованное уравнение на п шаге имеет вид
В Л EF ( В
-линеаризованный член
матрицы канонических уравнений, так как q-y
известно из предыдущего шага
расчета, А„(?2 скомое приращение q на п шаге, АР - приращение нагруз::и. Для следующего п+1 шага q2 определяется по формуле q - 2 « п
В рассмотренном выше примере функция а(г) непрерывно дифференцируема, в таких случаях применение шагового метода, как правило, дает хорошие результаты. При кусочно-линейной функции а(8) (например, диаграмма Прандтля) целесообразно применять модифицированный метод Ньютона. Здесь для наглядности применения МКЭ к физически нелинейным задачам было рассмотрено на примере стержня. Более сложные случаи для пластинчатых систем рассмотрены в Приложении 1.
2.9 Геометрическая нелинейность
В геометрически нелинейных задачах нелинейной является зависимость между перемещениями и деформациями, кроме того, при применении принципа возможных перемещений необходимо учитывать изменение геометрии. Например, для сжатого (растянутого) стержня используется зависимость
(2.47)
Функционал возможной работы а{и, v) имеет вид
a{u,v) =
oL V
1 Л
для его производной получим
(2.48)
(2.49)
где .V = EF\u\ + {и\ При учете изгибных деформаций выражения (2.47, 2.48, 2.49) примут
вид:
(2.47а)
ЕР < + ; г к + <<.)+ РУ[ (2-48а)
I I I
a{u.v,Yj) +w>/>/x+ JNvMx-h £/у>Ух (2.49г)
о 0 0
где Ux - перемещение вдоль оси стержня;
ги - перемещение ортогональное оси стержня; Z - расстояние от нейтральной оси стержня до рассматриваемого волокна;
