состояние) не следует назначать узловые неизвестные в виде значений угла
поворота относительно оси, ортогональной плоскости балки-стенки
ди dv ду дх
Из изложенного следует, что узловыми неизвестными могут являться только значения:
для стержней - трех перемещений и трех углов поворота;
для балок-стенок - двух перемещений;
для объемных элементов - трех перемещений;
для тонких пластин - одного перемещения и двух углов поворота;
для тонких оболочек и оболочек Рейнснера - трех перемещений и двух углов поворота.
Для других теорий, например, толстых и многослойных пластин, используются дифференциальные уравнения, которые допускают более широкий набор узловых неизвестных.
Мы надеемся, что эти аргументы (и аналогичные, приведенные в [2.33]) будут восприняты исследователями, разрабатывающими новые конечные элементы, а также пользователями, применяющими МКЭ с пониманием особенностей этого метода.
2.3 Исследование конечных элементов
Как уже указывалось выше, одним из важных преимуществ МКЭ является возможность провести исследование сходимости, оценить
приближенное решение, исследуя только один тип конечного элемента, который используется для решения данной задачи, абстрагируясь при этом от контура области, нагрузки, граничных условий. По сути в задачу исследования входит определение показателя степени при h в выражении (2.13 - 2.15). если этот показатель больше нуля, то это означает, что МКЭ для данной задачи сходится и имеется возможность оценить приближенное решение.
Пример такого исследования приведем на достаточно распространенном типе КЭ - совместном прямоугольном конечном элементе для плоского напряженного состояния.
Рис. 2.4
В каждом узле этого элемента (рис. 2.4) вводится по два узловых неизвестных/I qp при j = 1, 2, 3, 4, которые в физическом смысле соответствуют линейным перемещениям вдоль осей х и в каждом узле.
Перемещения ы, v независимо аппроксимируются функциями:
- (1 - )(1 - 7); 2 - (1 - 7);
3 - (1 - )77; 4 - т;;
(2.16)
где:= ;
В неявном виде аппроксимация (2.16) выглядит так: 0;Дх,у)-а, +а2Х-\-ау + аху.
Функции (pj равны единице в узле j и равны нулю на сторонах, которые не примыкают к j узлу, изменяются по полилинейному закону на Qr и по линейному на сторонах, примыкающих к узлу j.
Система функций (2.16) линейно независима. Линейный закон изменения функций (pi на сторонах конечных элементов обеспечивает непрерывность перемещений по области контакта конечных элементов, а, следовательно, и существование напряжений и деформаций, входящих в функционал потенциальной энергии. Таким образом, система функций (2.16) принадлежит энергетическому пространству Яд.
Для плоского напряженного состояния порядок дифференциального оператора 2т=2. Поэтому, чтобы показатель степени р+\-т в оценках (2.13 -2,15) был больше нуля, необходимо, чтобы порядок аппроксимации хотя бы равнялся 1, т. е./?=1.
Узловыми неизвестными являются перемещения узлов и{Хр v/) и v(x/,v/), поэтому функционалы Bjg, g=l,2 имеют вид Bji= uixj.yj), Bj2= у(х/, V/) (см. раздел 2.2, выражение 2.12).
Поскольку перемещения и и v аппроксимируются одними и теми же функциями <pj, тождества вида (2.12) прир=\ достаточно проверить дляBj/. В рассматриваемом случае из (2.12) получаем систему тождеств.
1 + 2 + 3 + 4 1;
«(2 +(4); Г (2.17)
Подставляя (2.16) в (2.17) видим, что тождества удовлетворяются. Таким образом, функция (2.16) отвечает всем трем требованиям. Так как т=1 и р=1, то на основе оценок (2.14) и (2.15) можно сделать вывод, что
решение сходится по перемещениям с порядком /г", а по напряжениям с порядком h.
Проверим этот прогноз численным экспериментом. Рассчитаем жестко подвешенную прямоугольную балку-стенку под равномерно распределенную нагрузку р=500 тс/м, приложенную к грани (рис. 2.5). Модуль
1/ У Л Л W Ф
верхней
упругости материала £2,65-10 тс/м, коэффициент Пуассона v=0,15; толщина конструкции 5=0,1 м.
Решение этой задачи в рядах с высоким порядком сходимости для некоторых точек области приведено в графе 5 табл. 2.1. В графах 6, 7, 8, 9 Рис. 2.5 приведены значения перемещений и
напряжений для трех точек нижней грани, полученные решением по МКЭ для различной густоты сетки.
и следовало ожидать, порядок сходимости для перемещений составляет /z, а для напряжений /г, так как с удвоением густоты сетки разность между точным и приближенным решением для перемещений уменьшается примерно в 4 раза, а для напряжений примерно в 2 раза.
Таблица 2.1
Координаты узлов
&
с «
к со
Решение в рядах с
точностью до пяти
значащих цифр
Решение по МКЭ при расчетной сетке
16x16
32x32
-0,71927
-0,5808
-0,6808
-0,7093
-0,7167
-0,50801
-0,4107
-0,4812
-0,5011
-0,5062
-0,67233
-0,5555
-0,6204
-0,6641
-0,6702
-0,94990
-0,7857
-0,9053
-0,9385
-0,9470
264,82
190,27
228,00
246,80
255,8
374,31
268,98
321,99
348,12
361,2
Примечание: величины перемещений даны в мм, а напряжений ~ в кгс/см.
Ввиду гладкости граничных условий, нагрузки и области системы не следует ожидать наличия каких-либо сингулярностей, в связи с чем оценка (2.15) в данном случае окажется достаточно правомерной. Из данного примера видно, что если точное решение и неизвестно, то на основе оценки
