Таким образом, теоретическое обоснование функций (pi может быть сведено к их проверке на удовлетворение перечисленным выше требованиям.
Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряженно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. По области конечных элементов, как правило, это требование удовлетворяется автоматически, поэтому проверять надо неразрывность соответствующих компонентов только по линиям или поверхностям контактов конечных элементов [2.38]. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемещениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области контактов КЭ. Из тех же соображений при решении задач изгиба плит или оболочек (порядок дифференциального оператора - 4, а в функционал Лагранжа входят вторые производные по перемещениям) необходимо обеспечить непрерывность, как перемещений, так и их первых производных по линиям контактов.
Линейная независимость базисных функций проверяется достаточно легко и, как правило, выполняется для МКЭ автоматически.
Для проверки полноты необходимо установить порядок р полинома, который выражается линейными комбинациями функции <pjg, и в случае р>т (2т - порядок дифференциального оператора А) третье требование выполняется. В дальнейшем число р будем называть порядком аппроксимации системы базисных функций. В работе [2.11] получено соотношение, позволяющее определить р для произвольных сеток и наборов степеней свободы в узлах:
T.f,{B,x)<Pj,(x)x (2.12)
Xja, g=]
при г < р и X G Q,. ,
где Xf - узлы конечного элемента О.,, gj число узловых неизвестных в узле У; (pjg, ~ базисная функция; gj - количество узловых неизвестных узла Xji т - мультииндекс; Bjg - функционал, определяющий значение узлового неизвестного.
Если базисные функции (pi удовлетворяют всем трем перечисленным выше требованиям, то сходимость МКЭ оценивается аналогично вариационно-разностным методам.
На основе теорем об оценках погрешности интерполяции функций степенными полиномами в работе [2.5] показано, что
u-u; <ch-", (2.13)
где и, щ ~ точное и приближенное решения; h - максимальный диаметр элементов; с - константа, измеряющая погрешность, • ~ норма
в энергетическом пространстве.
Из энергетической оценки (2.13) вытекает средняя квадратичная оценка для напряжений, т.е.
а-а, <ch-\ (2.14)
где <7, Oh. ~ соответственно точное и приближенное значения напряжений.
Используя прием Нитше [2.38], из (2.13) можно получить среднюю квадратичную оценку для перемещений с более высоким порядком сходимости:
ii-~u,<ch\ (2.15)
t - 2(р н-1 - m) при р-\-1<2т и t = р-\\ при р + \>2т.
В [2.38] и других работах исследуется возможность перехода к оценкам погрешностей в отдельных точках области П, это свидетельствует о том, что МКЭ при достаточно высоком порядке аппроксимации р имеет сходимость не только в обобщенном энергетическом смысле, но и для отдельных точек, даже при наличии различных сингулярностей в геометрии, граничных условиях, нагрузке.
Приведенные оценки имеют не только чисто теоретическое значение, но могут оказаться полезными при практических расчетах, например, если интересует вопрос, как далеко полученное приближенное решение отстоит от точного. На основе оценок (2.13) - (2.15) можно примерно оценить абсолютную погрешность для имеющегося приближенного решения, если известны константы с.
В работах [2.11, 2.12] намечены пути их определения для различных классов задач теории упругости. Однако это может оказаться очень трудоемким и несоизмеримо более сложным, чем решение самой задачи. Вместе с тем можно предложить другой путь, заключающийся в том, что на основе двух расчетов с последовательным сгущением сетки (например, в 2 раза), используя оценки (2.13) - (2.15), можно составить примерное представление о точном решении и иметь суждение о расчетной сетке, необходимой для достижения заданной точности (примеры исследования некоторых конечных элементов на основе оценок (2.13) - (2.15) приведены в п. 2.3). Этот прием можно рассматривать как перенесение на МКЭ идеи Ричардсона - для разностных схем, которая обоснована и исследована в работе [2.13].
Существует целый класс так называемых «несовместных» конечных элементов, которые образуются на основе функций /, удовлетворяющих второму и третьему требованиям, т. е. линейной независимости и полноты, и не удовлетворяющих первому требованию принадлежности к энергетическому пространству Яд. В связи с этим оценки (2.13) ~ (2.15)
непригодны для таких элементов и для доказательства сходимости здесь требуются новые приемы. Впервые доказательство сходимости для конкретного несовместного конечного элемента было получено в работе [2.14]. Рассматривался прямоугольный элемент плиты (элемент Клафа) с тремя степенями свободы в узле. При доказательстве существенно использовалась геометрия области (прямоугольная плита) и граничные условия (защемление по контуру). Более общие приемы доказательства сходимости несовместных элементов были получены в работе [2 Л 6] и описаны в приложении 1.
В этих работах доказательство сходимости МКЭ для несовместного случая не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования.
Теперь кратко остановимся на выборе узловых неизвестных. Неизвестное, соответствующее узлу, является общим для всех конечных элементов, содержащих этот узел (звезды элементов - рис. 2.2). Это означает, что функция соответствующая узловому неизвестному в j узле должна быть непрерывной.
Например, для сжато-растянутого стержня JJjJ ./-У (рнс. 2.3) при EF}EF2 назначение узлового EFi EF.
неизвестного в узле j(x=l) в виде перемещения gj вдоль оси X не приводит к противоречию между главным граничным условием в точке j ul(l)-ii2(l)=qj(l) (ul(x) и u2(x) - значения функгщи
Рис. 2.3
и(х) слева и справа от узла j) и естественным ах
Если же в узле j ввести узловое неизвестное - , то равенство будет
противоречить естественному гранично.му условию, т.е. в узле j будет нарушено условие равновесия.
Из таких же соображений для изгибаемых элементов не следует назначать узловые неизвестные в виде значений вторых производных. Из аналогичных соображений для балок-стенок (плоское напряженное
